|
Možná si řeknete, co má co dělat matematika na numismatickém webu. Za chvíli vás doufám přesvědčím, že poměrně snadné matematické výpočty mohou přinést zajímavé zpestření a možná i trochu užitečné informace. Byly doby, kdy pro mne byla matematika noční můrou, byly i doby, kdy jsem "levou zadní" počítal diferenciální rovnice, dvojné, trojné integrály a další šílenosti, na něž si ani teď nevzpomenu. Bylo to hodně o tom, kdo mě učil. Teď jsou doby, kdy jsem zas tyhle věci pěkně v klidu pozapoměl a vyhrabat např. z paměti statistiku bylo docela dobrodružné. Naštěstí se našli i jedinci ochotní pomoci a poradit, kterým tímto děkuji. Doufám, že jsem moc chyb ve svých úvahách nenasekal a pokud ano, věřím, že mě na ně upozorníte a hlavně navrhnete lepší řešení. 1) Pravděpodobnost nalezení hledané mince V roce 2007 je v oběhu mezi 35 592 302 kovovými padesátikorunovými mincemi i 591 302 mincí s letopočtem jiným, než 1993. Jaká je pravděpodobnost, že ve 100 náhodně vybraných kovových padesátikorunách bude právě jedna s jiným letopočtem než 1993? Pozn. je třeba si uvědomit následující:
pravděpodobnost výskytu padesátikoruny s letopočtem jiným než 1993: 
tj. asi 1,7%, pravděpodobnost jevu opačného (nepříznivého) je: 
použijeme-li binomického rozdělení (n je počet pokusů, k je počet příznivých jevů): 
Pravděpodobnost nalezení právě jedné kovové padesátikoruny s jiným letopočtem než 1993 mezi 100 náhodně vybranými kusy je tedy 31,6 %.
použijeme-li hypergeometrického rozdělení (n je počet pokusů, x je počet příznivých jevů M, N je počet prvků), nelze z technických důvodů počítat s tak vysokými kombinačními čísly a proto počty mincí vhodně snížíme ve stejném poměru (např. 44252 s letopočtem 1993 a 748 kusů s ostatnímy letopočty - poměr je přibližně stejný 748 / 45000 = 0,016622): 
Což je stejný výsledek jako v předchozím případě (opět 31,6 %).
tentokrát použijeme Poissonova rozdělení, které je velmi vhodné pro jevy s malou pravděpodobností (p < 0,1) a pro velký počet pokusů (n > 30), četnost sledovaného jevu je k: 
potom: 
Což je výsledek velmi podobný oběma výsledkům předchozím (31,5 % oproti 31,6 %). 2) Kolik mincí je třeba prohledat? Kolik kovových padesátikorun je třeba prohlédnout, aby jsme s 95% pravděpodobností našli jednu padesátikorunu s jiným letopočtem než s letopočtem 1993? V roce 1993 bylo raženo 35 001 000 kovových padesátikorun, v ostatních letech pak bylo celkem vyraženo 591 302 kusů. platí: 
kde pravděpodobnost příznivého děje je pp (v tomto případě má být 95%, p je tedy 0,95), p' je pravěpodobnost nepříznivého děje; potom počet pokusů N, které je třeba provést pro dosažení příznivého výsledku je: 
Aby jsme s 95% pravděpodobností nalezli minci s jiným letopočtem než 1993 je třeba prohlédnout 179 mincí. 3) Jak vypadá hromada půlmilionu padesátikorunových mincí? Kolik padesátikorunových mincí se vejde do krychlového boxu o rozměrech 1 × 1 × 1 metr? Kolik bude tento box po naplnění mincemi vážit?Průměr padesátikorunové mince je 27,50 mm, síla mince je 2,55 mm a hmotnost 9,70.
Prohlédneme-li si obrázek, vidíme, že ve svislém směru jsou mince v řadách za sebou. Takovýmto způsobem se na délku jednoho metru vejde do jedné řady 36 mincí (100/2,75=36) a do druhé pak 35 mincí, pak opět 36 atd. Problematičtejší je určení, kolik bude do metru řad v kolmém směru. Při výpočtu lze vyjít z délky strany pomysleného šestiúhelník, v němž se mince nachází (vepsaná kružnice). Platí: 
kde r je poloměr mince (vepsané kružnice), a je délka strany šestiúhelníku; po úpravě dostáváme: 
Po dosazení zjistíme, že délka hrany šestiúhelníku je asi 15,88 mm. Šířka šestiúhelníku (vzdálenost dvou protilehlých vrcholů, tj. úhlopříčka) je větší. Lze ji snadno odvodit tak, že šestiúhelník pomyslně rozdělíme úhlopříčkami na šest rovnostranných trojúhelníků. Odtud je patrné, že délka úhlopříček je 2a. Protože však při tomto uspořádání zasahuje jedna řada do druhé, platí, že šířka řady činí a+a/2, což je 23,82 mm. Na délku jednoho metru se proto vejde 42 řad. Z toho bude 21 řad obsahovat 36 mincí a dalších 21 řad bude po 35 mincích. Počet mincí v jedné vrstvě bude tedy: Počet mincí, které lze naskládat na sebe do výšky jednoho metru je 392 (100/0,255=392). Vynásobíme-li počet mincí v jedné vrstvě počtem vrstev, získáme konečný výsledek, tj. počet mincí v boxu: Při váze mince 9,70 g bude celková hmotnost činit: Do boxu o rozměrech 1 × 1 × 1 metr se vejde 584 472 mincí a jejich celková hmotnost bude činit 5 669 kg. 
Můžete si stáhnout jednoduchou pomůcku pro výpočet pravděpodobnosti (*.XLS, 20 kB) Máte jiný nápad, co by bylo zajímavé spočítat? Nalezli jste chybu? Pište na email: . Za zaslané příspěvky velmi děkuji! |
Řešení 1 (pomocí binomického rozdělení)
Před samotným řešením je třeba si uvědomit, že mince je možno skládat úsporněji než do sloupečků řazených jednoduše vedle sebe. Takovým způsobem, jak se lze snadným výpočtem přesvědčit (36·36·392), by se dalo do boxu narovnat 508 032 mincí. Pokud ale zvolíme tzv. hexagonální uspořádání (viz obr. vpravo), vejde se do uvedeného boxu mincí více.